1. 河圖、洛書的傳說

在我國古老的著作《易經系辭傳》中有一句話是：“河出圖，洛出書，聖人則之。”這裏的聖人指的是伏羲氏。到了北宋時代就編造出了一個神話：在伏羲氏時代，從黃河跳出一匹龍馬，背上有一幅圖。這幅圖隱含著很多天機。上面有黑白點（圈）55個，用直線連接成10個數，被稱為“河圖”（如圖1）。根據河圖伏羲氏才畫出了八卦；又在夏禹治水的時候，洛水裏出現了一隻大烏龜，其背上有文字。上面有黑白圈45個，用直線連成9個數稱為“洛書”（如圖2）。

圖1 河圖

圖2 洛書

也有傳說認為“河圖”就是“周易”的來源；而“洛書”就是天帝賜給大禹治水用的《洪範九疇》。《漢書·五行誌》載：“劉歆以為伏羲氏系天而王，河出圖，則而畫之，八卦是也；禹治洪水，賜洛書，法而陣之，洪範是也。

還有傳說認為神龜負文而出，列於背，有數從一而至九。這個傳說倒是值得重視的。甲骨文的發現，可以說明“龜背刻字”並非虛妄。這樣，刻著圖形數字的龜背浮在水面上被人拾到，也是有可能的。

2. 河圖、洛書的數學內涵

河圖中的黑圓點表示陰數，陰數皆為偶數；白圓點表示陽數，陽數皆為奇數。圖中數字共分三層：最外層四數之和為30；中層四數之和為10；內層三數之和為15。三層數相加得55。30、10、15均為5的倍數，說明以5為中心。圖中1至9除了5之外都是不重復的數，隻有5例外，共有三個5。如果把其中兩個5合並為10，也即1至10的和是：

這是等差數列前n項和的最典型例子。

洛書是把一至九這9個數字擺成方陣，而以五為中心。對洛書的解釋為形如圖3的三階方陣，南宋數學家稱此圖為“縱橫圖”，又稱“九宮圖”。此圖中任意一行、任意一列以及兩條對角線的數字之和都是15。這種縱橫圖是世界上最早的矩陣，又稱方陣或幻方。它的研究屬於一個數學分支——組合數學，歐洲人直到14世紀才開始研究幻方，比我國遲了近兩千年。

圖3

那麼這種幻方是怎樣構造出來的呢？1275年南宋數學家揚輝在《續古摘奇算法》中談到了對洛書的構造法：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。載九屨一，左三右七，二四為肩，六八為足也。”即先把1，2，3，…，9這9個數排成如圖4的斜直線三排，然後上下對易，左右相更而構成洛書（如圖5）。

圖4

圖5

河圖、洛書是我國數學發展的標誌，說明當時我國對組合數學思想已經有了認識。楊輝在《續古摘奇算法》一書中，進一步構造出了4~10階方陣。實際上，若設方陣的階數為n，各行、各列、各條對角線上所有數字的和為Pn，則有公式

我國發現了方陣後，曾傳到國外，引起了國內外的數學愛好者的興趣。據說現在美國有一個13歲的少年已經排出了105行105列的方陣，即105階的幻方。

3. 河圖、洛書的現代解釋

內蒙古哲裏木畜牧學院物理教師韓永賢經過50年的潛心研究，於1988年在《內蒙古社會科學》上發表了論文《無文字時代的兩大發明——揭開河圖、洛書千古之謎》。該文章首次破譯河圖、洛書，認為伏羲確有其人。河圖是遊牧時期的氣象圖，洛書是當時的一張方位圖。圖中的圓點表示雨點、雨量，圓圈表示太陽、幹燥。韓永賢的論文，在國內外引起了強烈的反響。英國皇家科學院中國自然學史專家李約瑟來電：“河、洛一文很有價值。現已藏於劍橋東亞科學史圖書館。美國麻省理工學院高秉浩博士亦備加贊賞。”

4. 河圖、洛書的美學意義

河圖、洛書實際是組合數學的雛形。洛書便是一個三階方陣（西方稱之為“幻方”），它的各行、各列及對角線上三數之和皆為15。而對於n行、n列及對角線也具有此性質的幻方稱之為“n階幻方”。幻方曾使大數學家歐拉、著名物理學家富蘭克林很感興趣.

河圖、洛書皆是以“五”為中心，古人有“五瓣梅花天地方”之句，正包含了這樣的意思。八卦雲：“天數五，地數五，五位相得而各有合。天數二十五，地數三十，凡天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。”

美國1977年發射的尋求外星文明的宇宙飛船旅行者1號、2號上，除了有向宇宙人緻意的問候信號外，還帶有一些圖片。這些圖片中，就有一張是四階幻方圖（如圖6）。

圖6

從數學美的角度來看，由於河圖所進行的數字排列，使得對這些數進行簡單的數學運算，例如加法、減法、乘法、數列運算，得到了各種結果，這些結果都包含了一定的規律性。對河圖的數學研究，不但是一種思維體操，而且有著強烈的數學美感。電子計算機出現以後，古老的河圖、洛書中所包含的數學美學原理，在程序設計、實驗設計和圖論方面得到了應用和發展。